史密斯圓圖的擴展方法
復數形式的阻抗Z=R+jX 表示在圖3 的X-Y 平面上。在這個圖形中，使用字母來代表不同點的阻抗。A= -∞+0j，B= -50+0j，C=0+0j，D=50+0j 以及E=∞+0j。同樣F=0-∞j，G=0-50j，H=0+50j 以及J=0+∞j。此外，R=50Ω 是用垂直虛線畫出，X=50Ω 是用水平橫虛線畫出的。可以看出在X-Y 平面的左半邊，R 小于零（因此可以表示負電阻），X-Y 平面的右半邊代表正的電阻。將阻抗平面進行轉換就生成了圖4 的史密斯圓圖。坐標體系轉換的詳細內容見[1]。從圖4 可以看出，點E，F 和J現在都在圓周的右邊。代表電阻和感抗為零的原點C 是在圓周的左邊。而代表-50j 的電容和+50j 的電感的G 和H 則分別在圓周的底部和頂端。現在含有正實部半邊的阻抗面（R>0）是在組成史密斯圓圖的圓周內，而含有負實部半邊的阻抗面（R<0）則在圓周之外。
圖3 所示的是代表了電阻為常數和感抗為常數時的阻抗虛線，也同樣顯示在圖4 中。遺憾的是，在系統坐標變換時，具有負實部半邊的阻抗域部分被擴展了。所以，采用史密斯圓圖來處理負阻抗就變得很棘手。
圖3、阻抗平面
圖4、按照史密斯的方法，將正實部的阻抗平面轉換到圓內
一個能將含有負實部半邊的阻抗平面域壓縮為易于處理的尺寸范圍的可行方法是生成兩個肩并肩的史密斯圓圖[6]，一個圓圖處理含有正實部半邊的阻抗域，另一個處理含有負實部半邊的阻抗域。這兩個肩并肩的史密斯圓圖可以幫助工程師一眼就能看到整個阻抗范圍。圖5 便是這樣一個例子。
圖5、一個肩并肩的可覆蓋整個阻抗平面的史密斯圓圖（圖形由RF Café2002 提供）
肩并肩史密斯圓圖的生成是通過采用2 個坐標變換來實現的，一個變換是在阻抗平面的右邊，即史密斯已經完成了的，另一個在左邊，是含有負電阻半邊的阻抗平面部分。
參考圖3，可以看出在Y 軸上的點F，G，H 和J 在y 軸上從而組成了阻抗平面2 個半邊的邊界線。因此，在使用2 個坐標變換來生成2 個史密斯圖時，這些點顯示在對偶處。例如，對G 來說，產生圖6 的對偶點G 和G′。因此這種方法的缺點是在兩個圖中，每個圖的邊界存在不連續性。例如，+50jΩ 同時出現在兩個史密斯圓圖中，它們之間存在一個間隔。
圖6、將整個阻抗平面轉換為兩個肩并肩的圓
這個問題的解決辦法之一是想像出兩個背靠背的史密斯圓圖，每個史密斯圓圖的外邊界相重疊。這樣一個例子可以想像為將具有正實部的阻抗和具有負實部的史密斯圓圖印刷在乒乓球拍的兩面。但是從一面變換到另一面時，同樣沒有一個平滑的過渡。這樣一來，設計工程師們就需要反復地將球拍翻來翻去。
在過去的許多年中，我將傳統的史密斯圓圖進行擴展來幫助自己理解射頻領域中像振蕩器設計以及放大器的穩定性這類涉及到負阻抗的問題。
史密斯圓圖的球面擴展形式
為了生成球形的史密斯圓圖，需將圖3 所示的整個阻抗域包圍在球體的表面。見圖7。圖3 中標記的點也同樣地標在了球面上。可以看出，圖3 的原點（點C）現在是在球體的左邊。其歸一化的坐標（x，y，z）為（-1，0，0）。（注意，為了方便起見，對圖3 的原點作了x=-1 的偏移。）點A，E，F 和J，即在x 和y 軸上阻抗趨于正無窮大和負無窮大的點，現在的坐標都為（1，0，0）。代表-50Ω 和+50Ω 的點B 和D，現在分別在點（0，0，-1）和（0，0，1）處。類似地，代表-50 j 和+50 j 的點G，H，現在分別在（0，-1，0）（0，1，0）處。
圖7、轉換到球體的表面后的阻抗平面
在這個新形式的史密斯圓圖中，阻抗為0 和無窮時的點在x 軸上。從Z 軸的正方向去看球體，可以看到一個類似于傳統的史密斯圓圖。當然，由于球面的曲線特性，這個圓周的形狀似乎有些變形。當把阻抗平面映射到球面上時，整個平面都在一個易于處理的區域內，而且正電阻到負電阻的過渡可以平滑連續地進行。