張益唐新成果將震驚學界？他曾說要做就做大問題

這兩天，因為網傳數學家張益唐的一句話，整個數學圈沸騰了。

據稱，張益唐在參加10月15日北京大學校友Zoom線上會議時，口頭表達了自己攻克朗道—西格爾零點猜想（Landau-Siegel Zeros Conjecture）的最新進展，且相關文章將在11月初上線。

這一猜想與已經懸置160多年的著名數學難題“黎曼猜想”相關。簡單說，如果存在朗道-西格爾零點，那么黎曼猜想就是錯的；如果朗道-西格爾零點不存在，則不會和黎曼猜想發生沖突。

無論是哪種結果，無疑都是數學史上里程碑式的事件。截止目前，張益唐并未在其他場合宣布這一進展。但他素來為人沉穩，同行們相信他不會信口開河，都期待著11月見分曉。

最終，究竟是否完全攻克，不少科學家表示，證明是否正確還有待觀察，還需要國際數學界學術同行的確認。

究竟什么是朗道—西格爾零點問題？為何攻克它會讓數學界為之一“震”？

難度比肩“黎曼猜想”

與諸多猜想類似，朗道—西格爾零點問題是由數學家名字命名。

朗道和西格爾是兩位著名的數學家。朗道是德國數學家希爾伯特（注：1900年，希爾伯特根據19世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個懸而未決的數學問題，即著名的“希爾伯特的23個數學問題”）在數論領域的繼承人。朗道指導過不少博士生，其中最為出色的學生之一就是西格爾，西格爾發現了一類特殊的函數—L函數理論中的西格爾零點現象。

朗道—西格爾零點問題，因朗道和西格爾兩位數學家的共同開創性貢獻而得名，歸根結底在于解決：L函數是否存在異常零點。

朗道—西格爾零點問題與數學上著名的未解難題“黎曼猜想”有關，它是廣義黎曼猜想的“一種特殊并且可能比其弱得多的形式”。

張益唐對這一問題的研究，與他從博士期間便開始的黎曼猜想研究有關。

接下來，我們細細道來兩者的關系，“黎曼猜想”是關于素數（又叫質數）的問題，目的是研究素數分布規律。

在小學，我們的數學課本中第一次出現了“素數”的概念。一個大于1的自然數，除了1和它自身外，不能被其他自然數整除的數叫做素數。這樣一個簡單卻粗略的描述，使得數學家們為尋找一個更為精確的表達公式而“前赴后繼”。

1859年，德國數學家黎曼發表了一篇題為《論不超過一個給定值的素數的個數》的文章。這是他在解析數論領域發表的唯一一篇文章，文字簡練，僅僅8頁紙，卻成為該領域最經典的文章。

黎曼認為，素數的分布奧秘與一個復雜的函數密切相關，而使這個函數取值為零，即非平凡零點對素數分布的精確規律有著關鍵性影響，他在文中定義了一個被后世稱為“Zeta”的無窮極函數。

黎曼猜測，可能所有非平凡零點都位于實數部分等于1/2的直線上，這條線被稱為臨界線。這就是令后世數學家魂牽夢繞、輾轉反側的“黎曼猜想”。

張益唐在香港中文大學（深圳）的一次講座中提到，學術界公認的思路是應該構建新的函數來研究黎曼猜想，其中就包括狄利克雷L函數。而在狄利克雷L函數的所有非平凡零點的實數部分都是1/2，這是廣義黎曼猜想。

而在廣義黎曼猜想中，一種特殊并且可能比其弱得多的形式，即為朗道-西格爾零點問題。在前人的研究中，廣義黎曼猜想恰好是朗道—西格爾猜想的充分條件。

自從20世紀初，諸多數論專家紛紛投入這一問題，但都沒有成功，有數學家甚至預言，朗道—西格爾零點問題的解決比原黎曼Zeta函數的猜想更難。

目前，根據可查閱到的文獻，關于朗道-西格爾零點問題的研究，張益唐或許是最為“深入”的一位數學家。

2007年，他在預印本網站arXiv上刊發了“On the Landau-Siegel Zeros Conjecture”（關于朗道-西格爾零點猜想）的研究，盡管被認為存在一些“瑕疵”，但也在推動該問題一步步往前發展。

如何理解這一問題的意義？

2019年11月，張益唐在北京的一場報告上介紹了朗道-西格爾零點問題存在與否的兩種情況，有句話令人印象深刻：

“有一種說法，朗道-西格爾零點問題可以劃成兩個宇宙，第一個宇宙存在朗道-西格爾零點，第二個宇宙不存在朗道-西格爾零點，現在我們的問題是不知道我們到底生活在哪一個宇宙里？如果我們生活在第一個宇宙，零點真的存在，那也不得了，黎曼假設被證明是錯的。”

在報告中，張益唐表示，目前來講，能夠做一個報告，至少一個弱形式這個問題方面還是有可能做出來，但是整個technical（工具、方法）的東西是非常非常復雜的。

張益唐的同事、數論學家Stopple曾說，如果張益唐能對此作出證明，那么加上他的上一份成就，在某種意義上，（其概率）就像是同一個人被閃電劈中兩次。“如果他從未成名，那么做出這項工作也會讓他跟上次一樣被世界矚目。”

一生執著做“大問題”

很多年前，北大數學系1978級一個學生干部問丁石孫先生（北京大學原校長）：為什么我們這級還沒有出人才？丁石孫的回答是“時機還不到”。

在張益唐看來，當時改革開放剛剛開始，北京大學的學風和學術訓練對人才培養有著很大的幫助，但是整體來講，20世紀80年代我們的水平跟國際整體水平相比差距太大了。

丁石孫所說的時機，隨著包括張益唐在內的一群人堅持做“大問題”而逐步到來。

事實上，朗道-西格爾零點問題是張益唐致力于解決的第二個“大問題”。

在數學界，張益唐被認為是“傳奇般的存在”，極端的兩面聚集一身：78級北京大學數學系天才、美國新罕布什爾州一家快餐店的會計；留美博士、畢業后漂泊了8年，至50歲才成為一所大學的講師。

在很多次采訪中，張益唐談起這段經歷時，從未表現過痛苦之意。在他看來，有辦公桌，有紙有筆，就可以繼續做研究。這種孤獨與沉寂一直持續到2013年，張益唐憑借一篇《素數間的有界距離》而轟動國際數學界。

這是與黎曼猜想、哥德巴赫猜想齊名的世界級數學難題。張益唐證明了“存在無窮多個差值小于7000萬的質數對”，從而在孿生素數猜想這一數論重大難題上取得重要突破。

事實上，在此之前，世界最頂級的一批數學家曾在舊金山討論過這個難題，但是最終都認為，以現有的數學發展水平解決不了。數學家Goldston甚至絕望地認為，自己有生之年都不會得到答案了。

這是張益唐在20多年里，致力于朗道-西格爾零點猜想以及其他一系列重要命題研究過程中，旁溢而出的成就。張益唐把研究結果默默投遞到《數學年刊》，期刊在短短幾周之內就過審，創下了該刊百年來的最快過審記錄。

對于張益唐來說，或許成功是偶然也是必然。無論是黎曼猜想，還是孿生素數猜想、朗道-西格爾零點問題，張益唐把一生的時間都交給了數學上的“大問題”，他“有這個野心”只做“數學中最重要的研究”，且一直堅持下去。

做數學，是天才的“ZL”嗎？

被認為是“天才”的張益唐曾在接受《中國科學報》采訪時提到，他非常贊同北大張平文院士所說的要“保護”天才，而不是“培養”天才的觀點。

這個“保護”，是引導數學人才不要去做小問題，要做就做大問題。

張益唐說，盡管我們都覺得美國數學的基礎教育很淺，但依然有些東西值得我們學習。在美國，如果發現一個孩子有數學或是其他天賦，他們會對這些孩子有更高的要求，提供更多的機會和資源，不會埋沒他們的天賦。

如今國內的情況已大不相同，張益唐驚嘆地說道，“現在的小孩聰明得不得了，雖然是本科生，水平已經跟研究生差不多了。”

他相信，中國數學一步一步、實實在在去做，自然地就能提升。

參考資料：

https://mp.weixin.qq.com/s/6O3EHNKbJ6KHXTL0vhRwpQ

https://mp.weixin.qq.com/s/O-WPwjByQvPbjQ8Wo1mAfw

https://3g.163.com/dy/article/HJRE83PP0552DUE6.html

http://www.pku.org.cn/people/dsff/1311897.htm

https://3g.163.com/dy/article/HJRE83PP0552DUE6.html