探究雙原子分子光譜問題，張朝陽親自講解

2月11日12時，《張朝陽的物理課》第二十七期準時開播。搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，探究雙原子分子氣體。張朝陽先帶著網友復習氫原子薛定諤方程，根據求解得到的能級公式，討論氫原子的光譜。接著研究兩個氫原子組成的氫分子，其電子組成共價鍵將原子核束縛起來，將此勢能在平衡位置展開得到等效的諧振子勢，求解對應的薛定諤方程，解得包含振動與轉動自由度的能級，通過此分立的能級與選擇定則分析氫分子的光譜。

“我們學了那么多理論，解了那么多方程，現在需要應用一下。”張朝陽開門見山，“我們跟氫原子作戰了很長時間，今天要講氫分子，解決雙原子分子氣體問題。”

氫原子光譜與里德伯常量

他先帶著網友，復習氫原子的薛定諤方程，求解得到氫原子的分立能級公式。

他說，“有了能級公式，就可以研究氫原子在各能級之間躍遷所產生的光譜。”通過推導，網友們發現，從初態能級到末態能級躍遷時，發射出的光線的波數為：

張朝陽解釋說，“系數R稱為里德伯常量，是量子力學出現之前，人們根據實驗測得的氫原子光譜，抽象出的經驗公式里得到的，這與用薛定諤方程計算的數值一致。”

他進一步解釋，當末態主量子數為1時，末態就是基態，從各激發態到基態的躍遷形成的光譜就是萊曼系，它處于紫外光譜區。當末態主量子數為2時，更高激發態到末態的躍遷形成的光譜是巴爾末系，此線系處于可見光譜區，所以首先被發現。以此類推，可以得到其它譜系。

解薛定諤方程得到氫原子能級，導出的光譜與實驗相符，重現了量子力學出現之前的各種線系，他說，“這證明了薛定諤方程的正確性。”

求解氫分子原子核的薛定諤方程

討論完氫原子的光譜，再來討論由氫原子組成的氫分子的情況。

“氫分子體系比氫原子復雜多了，它包含了兩個氫原子核與兩個電子，這四個粒子之間兩兩都有庫倫勢相互作用，直接解對應的薛定諤方程非常復雜。”張朝陽指出推導的難度所在和解決方案，“不過，由于電子質量遠遠小于原子核的質量，分子中電子速度遠遠大于原子核速度，所以當研究氫分子的振動和轉動時，可以把電子看成一種分布，原子核沉浸在這種云一樣的分布之中，電子云使得原子核之間具有某種有效的相互作用，從而將原子核結合在一起，這就是所謂的共價鍵。兩個電子是兩個原子所共有的。”

經推導發現，這種相互作用與原子核之間的庫侖力一起，組成總的有效勢能，若振幅較小，可將總有效勢能在平衡位置附近做近似展開，得到諧振子勢能，那么，重復之前得到的氫原子與諧振子的徑向薛定諤方程的步驟，則可得出對應的氫分子中兩原子核的徑向薛定諤方程：

（求解氫分子原子核徑向薛定諤方程）

此時，張朝陽先根據解氫原子與諧振子徑向薛定諤方程的經驗，定義新的函數u為：

再代入到薛定諤方程之中，并將其化簡為：

“這個方程有些難解。”張朝陽解釋，由于原子核的振動距離非常小，并且轉動能遠遠小于振動能，于是可以近似地將角動量項中的r直接換成平衡距離，若定義新的參數為：

最終，薛定諤方程可以變形為：

而這正是上節課解一維諧振子薛定諤方程時遇到過的微分方程。利用上節課的結論，馬上能得到：

其對應的氫分子原子核的振動與轉動能級就可以順勢求出：

（推導氫分子的振動轉動能級）

氫分子的振動轉動光譜：疏中有密，帶狀分布

“就像氫原子一樣，一旦求出了氫分子原子核的振動與轉動能級，就可以得出其對應的光譜。”張朝陽引導網友思考，“這里需要引入能級躍遷的選擇定則。”也就是說，原子核躍遷前后的主量子數變化為±1，角量子數的變化也為±1。為了方便討論，張朝陽還引入記號B，將氫分子原子核的振動與轉動能級寫為：

為了更方便地計算B的具體數值，張朝陽將B化為如下形式：

可以發現，關于電荷e的項正是氫原子的基態能量，這樣代入對應數據非常容易求得B=59 /cm。 而為了對比轉動能級與振動能級的量級差別，同樣計算振動能級差對應的波數為4000 /cm：

這樣，明顯看出轉動能級與振動能級有巨大差距。為了更精確地得出能譜，現在考慮以主量子數和角量子數標記的能級的間距。E(n+1, l+1)與E(n , l)能量相差：

E(n+1 , l-1)與E(n , l)能量相差：

由于前面已經計算過，振動能級差遠遠大于轉動能級差，綜合上述躍遷的能級差，可知氫原子的光譜結構是以振動能級差為主，但周圍有波數間距為2B=120 /cm的多條譜線。也就是說，整體上是在間距較大、相對稀疏的振動譜周圍，輔以間距較小、相對密集的轉動譜，最終觀察到的是振-轉光譜帶。這與實驗觀測得到的氫分子光譜一致，再次證明了薛定諤方程的正確性與強大的功能。

（根據能級推導氫分子振動與轉動光譜）

搜狐視頻發力知識直播 傳播知識玩轉科學

自11月5日至今，《張朝陽的物理課》已直播二十多期。在第一、二課中，張朝陽科普了“力”和“速度”，算出馬斯克的飛船和中國空間站每日繞地飛行圈數；第三、四課和“振動”相關，科普可見光的基本知識；第五、六課引發了關于音速和溫度的大討論；在第七、八、九課重溫經典物理學的兩朵烏云。

第十、十一課重點回顧黑體輻射曲線及其應用；第十二、十三、十四課嘗試進入愛因斯坦的思想世界，推導出著名的公式“E=mc”，并論證鐘慢尺縮效應；第十五課講解了原子的結構和原子核的衰變；第十六課開始進入量子力學，討論光的波粒二象性、康普頓散射、海森堡不確定性原理，以及薛定諤方程等。

從二十多期的物理課可以看出，《張朝陽的物理課》的直播風格獨樹一幟——通過觀察日常生活現象、用網友最熟悉的話題來提升興趣，再以公式推導的方式解釋其背后的物理原理，“透過現象看本質”，進而反過來解決生活中的類似問題。

張朝陽認為研究自然界是特別有意思的事情，他希望物理課的受眾能保有好奇心，“在好奇心驅使下，了解自然界的奧秘，了解我們在這個世界生存的道理”。該課程于每周周五、周日12時在搜狐視頻直播。同時，網友可以在搜狐視頻“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看往期完整視頻回放。

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