薦書|兩位數學家如何保持37年的合作

“數學文化覽勝集”（共四冊），李國偉著，高等教育出版社2024年3月出版

李國偉是中國臺灣的組合數學家，研究興趣旁及數學哲學、數學史以及科學文化。最近他的新著“數學文化覽勝集”系列出版，《人物篇》《歷史篇》《藝數篇》《教育篇》四篇各自單獨成冊，洋洋大觀，別開生面，顯示了作者扎實的數學訓練基礎、深厚的人文修養及對國際數學與數學教育動態的充分了解。我有幸得以略早一點瀏覽書稿，先就印象特別深刻的兩個精彩片段作一點介紹。

一

數學家一向被認為是智力生產中的單干戶，這一點與眾多從業者前赴后繼投身某一數學問題的事實并不矛盾，因為整個過程并沒有事先約定的“分工合作”。盡管有的求解過程延綿數百年，但最終的光環一般只會投射在問題的提出者與最終（或迄今最好）的解決者身上，著名的例子如費馬大定理與懷爾斯、龐加萊猜想與佩雷爾曼等。

隨著互聯網為通信交流帶來便利，21世紀初，一種新的數學知識生產方式出現了。最早提出“合作”這一概念的是菲爾茲獎獲得者高爾斯，他在2009年的博客上寫文章提出“進行大規模合作研究數學”的可能性，并且借用英語中的“博學者”（polymath）命名這種研究，李國偉則將其譯作“協力數學”。

高爾斯的設想是建立一個網上論壇，針對選定的題目，大家把片段的、零散的甚至看似愚蠢的想法公布出來，相互激發、群策群力，以期最終一舉解決難題。他寫道：“一大群數學家可以有效地把大腦聯結起來，他們就有可能非常有效率地解決問題。”

初試啼聲的“協力數學1”持續了大約3個多月，共有40多名數學家參與，最終在2012年的《數學年刊》上以D.H.J.Polymath的名義發表了論文。截至2021年初，從美國數學會的論文發表數據庫可以查到，用這個名稱署名的論文共有5篇。

“協力數學”題材的選擇十分關鍵，類似黎曼猜想一類極為高深的題目反倒不適合集體攻關，個別領域的技術性問題也沒有必要興師動眾。提出好題目并能引發廣泛興趣的往往是具有號召力的數學大腕，除高爾斯外，另一位菲爾茲獎得主陶哲軒也經常積極參與。2015年他還解決了“協力數學5”，即通常被稱為“埃爾多什差距問題”的離散數學難題，這一難題從提出到解決歷經80年。

陶哲軒發起的另一項引人注目的計劃，源于2013年數學家張益唐證明存在無窮多對素數、彼此間距小于7000萬的論文。這個被稱為“協力數學8”的目標就是盡量壓縮7000萬這個間距，如果能達到2就算解決了天王級的難題——孿生素數猜想。2014年4月，英國牛津大學一位年輕的數學博士梅納德證明出迄今最低的間距246。

有人擔心“協力數學”的工作模式會影響數學家建功立業的雄心甚至數學研究的品位。恰如英國數學家哈代80多年前在《一個數學家的辯白》中所言，“雄心壯志，期望得到名聲、地位甚至隨之而來的權力和金錢”，是人們“從事某項研究”的“高尚動機”。

如果“協力數學”演變成未來數學研究的主要趨勢，那么像懷爾斯埋頭7年以一己之力證明費馬大定理，或像格羅滕迪克只手擎天開創代數幾何的壯舉將不復存在，這些傳統數學家的孤鳥作風也會受到嚴重傷害。

以色列數學家卡萊是量子計算的懷疑論者，但對“協力數學”持開放態度。2019年6月9日，他在“協力數學博客”上發帖說，經過10年時光，這一計劃現在看起來有點后勁不足了。2021年1月29日，他又在自己的博客專欄“組合數學及其他”中貼出一文，討論了“協力數學”的進展概況，并且就未來可選取的題材提出建議。

針對那些擔心“協力數學”會影響數學研究品位的意見，卡萊認為“協力數學”既不會造成危險，也不奢望能夠取代那些熱衷于單槍匹馬闖天下的數學獨行俠。他還援引以色列哲學家馬嘉利特的說辭：“科學只是在街燈下尋找東西的藝術，而協力數學就是一盞新的街燈罷了。”

二

20世紀初，英國分析學派在劍橋突然崛起，在相當程度上應歸功于哈代與李特爾伍德的工作。丹麥數學家、物理學家尼耳斯·玻爾的弟弟哈羅德·玻爾在自己60歲生日慶祝會的演講中援引同事的說法，稱“英國現在只有3位偉大的數學家：哈代、李特爾伍德、哈代-李特爾伍德”。

另一個故事說，在一場研討會上，李特爾伍德遇到一位德國數學家，對方表示非常高興發現真有一位李特爾伍德存在，否則他還以為那只是哈代的一個筆名，發表一些不太重要的論文時才使用。李特爾伍德聽完不僅沒有生氣，反而大笑不止。

其實兩個人在外貌、個性與行為舉止上都有很大差異。與哈代那本遐邇聞名的《一個數學家的辯白》類似，李特爾伍德也寫過一本《一個數學家的隨筆集》，該書1986年出版新版時改名為《李特爾伍德數學隨筆集》。英國劍橋大學教授、數學家伯洛巴施為該書撰寫了“序言”，其中提到，“從各個方面來說，李特爾伍德都是令人印象非常深刻的人。他與一般人對數學家的刻板印象要多不像就有多不像。他個子不高但很強壯，是了不起的運動員。他在學校時是最棒的體操選手，擅長攀巖與游泳，板球也很厲害。他跳舞跳得好又熱愛音樂，他讀書破萬卷，可以與人深入談論任何話題”。

哈代天生具有貴族氣質，除了純粹數學和板球外，似乎沒有其他更多的東西能夠吸引他。李特爾伍德則精力充沛、興趣廣泛，他在隨筆集中提出了一個以其名字冠名的“李特爾伍德法則”，宣稱一個人大約一個月就會見證一次所謂的“奇跡”。他對這一“法則”的解釋超越了宗教與超自然力量的介入，純粹借助概率論中的大數定律進行闡釋：只要樣本足夠大，任何離譜的事件都有可能發生，再怎么難以解釋的情形也會變得如同家常便飯。

可以想象，哈代對數學的這種應用是不屑一顧的。在對待19世紀劍橋人引以為傲的數學“三足凳”考試的態度上，哈代堅定地認為這一制度束縛了年輕人的創造熱情。李特爾伍德則持開放態度，覺得借助這種考試增強訓練并培養青年學生的榮譽感也未嘗不可。

更有意思的是，雖然兩個人都沒有結婚，但哈代不茍言笑守身如玉，李特爾伍德則在社交場中如魚得水，也不畏懼與聰明漂亮的女性周旋。據傳他有一個私生女，不過長期以來卻對外聲稱是自己的侄女。

這樣兩位英國紳士是如何保持長達37年的親密合作并產生諸多重要研究成果的？哈羅德·玻爾在慶生演講里提到這兩人之間的四條約定，目的是防止長期合作限制個人自由。不過兩位當事人的著作中都沒有提到此事，“哈-李合約”的內容也僅見于哈羅德·玻爾的描述，大致如下：

第一條：當一人寫信給另一人時（他們寧愿用書面而非口頭方式來交換想法），內容對錯與否沒有關系，唯其如此才能盡情抒發，避免承受不能出錯的壓力。第二條：當一人收到另一人的來信后，沒有必須閱讀的義務，當然更沒有必須回復的義務，因此收信的一方不至于因為正專注于眼下研究的其他問題而分心。第三條：兩人同時思考同樣的細節無傷大雅，但最好是分進合擊。第四條：由兩人聯名發表的論文，不計較各方貢獻的多寡，甚至允許其中一人毫無貢獻。

最后一條也是最重要的一條，若非如此，就有可能為推辭署名或為署名發生爭論乃至摩擦。這是哈代與李特爾伍德之間的合作一直得以長期保持并不斷產出成果的主要原因。

古往今來，圍繞著科學發現與發明中的“優先權”問題發生過許多爭論，著名的如微積分的發明權、海王星的發現權等。這些爭論除了個人意氣或信息不暢通引起的誤會之外，還常常由于國家、民族甚至宗教等非科學因素的卷入而變得更加復雜。相反，哈代與李特爾伍德能始終信守兩人之間的約定，并終生珍惜分享成果的情誼，從未偏離到追求名望與利祿的歧路，為純真與熱忱地探索知識的人們樹立了典范。

寫到這里，作者李國偉還提到了中國人感到遺憾的“楊-李之爭”。在此讓我完整地援引原文：“其實對于人類知識而言，1956年李政道、楊振寧二人聯名發表的《弱相互作用中的宇稱守恒質疑》一文，徹底改變了物理學家對于某些自然律的看法，至于宇稱不守恒最先出自誰口并不絕對重要。李政道、楊振寧沒有類似哈代與李特爾伍德的約法，若非在彼此相互啟發的情境中實現突破，應該可以只由一人發表論文。相信將來在歷史上，宇稱不守恒永遠與李政道、楊振寧二人的名字聯系在一起。”

這套書中有趣的看點非常多，限于報紙篇幅，只能容后接著介紹，當然最好是讀者自己買來或借來閱讀，以細細品味數學文化的雋永魅力。

（作者系清華大學科學史系特聘教授、中國科學院自然科學史研究所研究員）