“幾何結構與拓撲不變量”重大項目指南

   流形上整體幾何結構與不變量的研究是當代數學研究的核心內容。作為一門研究空間性質的學科，幾何學的發展始終和物理學緊密聯系在一起。一方面幾何學為物理學提供必要的數學基礎和研究工具。另一方面物理的直觀和應用極大的刺激了幾何學的發展并提供了新的研究方向。許多新的幾何結構，新的幾何或拓撲不變量都和理論物理（特別是弦理論）有著密切的關系。這些不變量涉及到數學幾乎每個分支。關于這些不變量的研究已成為當代數學研究的核心方向。二十一世紀是量子數學的時代，基礎數學的傳統門類將進一步融合并相互影響，物理的影響及數學與物理的交互作用和融合將會對數學的發展起到更加重要的作用。加強我國在這個領域的研究工作具有重大意義。本項目擬研究與物理緊密相關的模空間的性質并由此構造新的幾何與拓撲不變量，研究各種不變量之間的相互關系及對偶現象，研究這些不變量所具有的各種結構以及與可積系統之間的關系等。如果這個項目的研究計劃得以實施，將極大推動這個領域在我國的發展，培養更多的青年數學家從事這一領域的研究，加強我國在這一重要領域的國際影響力。

　　一、科學目標

　　本項目研究和現代物理理論，特別是弦論密切相關的幾何結構和拓撲不變量。不變量反映了數學結構最重要的性質，也是研究數學結構最重要的工具，對這些結構的分類也起著至關重要的作用。擬通過構造新的幾何與拓撲不變量建立新的數學理論，解決數學物理領域最前沿的科學問題，爭取在諸如鏡像對稱猜測, Virasoro猜想，Strominger-Yau-Zaslow猜想，Landau-Ginzburg/Calabi-Yau 對應等一系列具有重大國際影響的問題上取得突破性進展。擬通過對各種模空間的研究來構造新的不變量，進一步加深對各種幾何不變量的理解，找到計算這些不變量的有效方法，發現并研究這些幾何不變量背后的深刻結構，用這些不變量理論解決傳統方法不能解決的數學問題，研究各種不變量之間的聯系及其在其它數學分支和物理中的重要應用等。

　　二、研究內容

　　（一）模空間理論與幾何不變量的構造。

　　構造閉弦和開弦情形下新的幾何不變量，例如構造哈密頓Gromov-Witten不變量，研究線性西格瑪模型并構造相關不變量，研究Landau-Ginzburg模型的范疇化理論并進一步構造高虧格的理論。研究建立這些不變量所需要的模空間的結構和性質。研究各種幾何不變量的計算問題。

　　（二）鏡像對稱。

　　研究各種幾何不變量之間被物理學家預言的對偶性現象，比如關于Calabi-Yau流形的鏡像對稱猜想，Landau-Ginzburg/Calabi-Yau對應猜想等。

　　（三）辛幾何不變量與可積系統的聯系。

　　探討辛幾何不變量與數學其他分支之間的重要聯系，特別是Gromov-Witten不變量和可積系統之間關系。研究與此相關的重要猜想，如Virasoro猜想等。研究Gromov-Witten不變量的新結構和有效計算方法。

　　三、申請注意事項

　　（一）申請書的附注說明選擇“幾何結構與拓撲不變量”。

　　（二）申請人申請的直接費用預算不得超過2000萬元/項（含2000萬元/項）。

　　（三）本項目由數理科學部負責受理。